Martin Leška se narodil 11. dubna 1988 v Plzni, kde také absolvoval Střední průmyslovou školu stavební (obor Dopravní stavitelství) a poté vystudoval Stavební inženýrství na Fakultě aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni.

Od roku 2013 se zabývá projektováním a zaměřuje se zejména na městské komunikace, veřejný prostor, hromadnou a bezmotorovou dopravu. Pro město Plzeň prověřil např. přestavbu křižovatky Rondel na Roudné či zpracoval projekty prodloužení aleje Svobody na Lochotíně. V roce 2021 získal titul Autorizovaného inženýra pro dopravní stavby a městské inženýrství.

V letech 2010 až 2014 byl členem Komise životního prostředí RMO Plzeň 1 jako nestraník za PVP, roku 2018 vstoupil do TOP 09. V současnosti je zastupitelem MO Plzeň 1, předsedou místní organizace TOP 09 Plzeň 1 a místopředsedou krajské organizace TOP 09.

Ve volném čase se zabývá popularizací veřejné dopravy a její historie, je spoluautorem knihy o výrobě trolejbusů Škoda. Zajímá se i o architekturu, urbanismus, film, grafický design a moderní dějiny.

Je svobodný a bezdětný.